Custodia exclusiva de recién nacido

Buenas tardes, acabo de tener un hijo con un señor extranjero al que acabé dejando poco antes de nacer. Yo vivo con mis padres y mis hermanos que son los que se han ocupado 90% diría económicamente del niño antes de nacer (habitación, sus necesidades de bebé, todos sus muebles, toda su ropa... ) y él vive en un piso compartido con un desconocido y ni si quiera sus padres que viven fuera de España se han puesto en contacto en su vida conmigo. Además utiliza mucho al niño en redes sociales (aludiéndolo, por su nombre, con fotos de sus juguetes comprados por mi...). Se acordó que viviría conmigo y voy a tener que dejar de trabajar para cuidarlo probablemente. El problema es que él quiere poder ver todos los días a un bebé recién nacido a la hora que le de la gana y llevárselo. Pienso que incluso acogiéndome a una lactancia el niño ni podría ni pernoctar fuera. Por evitar discusiones me veo buscando abogado y yendo a juicio ¿podrían darle la custodia compartida de un bebé recién nacido? ¿Si lo registro solo con mis apellidos, a qué edad me puede exigir una prueba de paternidad y reconocimiento de él como padre? Muchísimas gracias..