Reclamo de derechos padre desentendido de sus obligaciones como padre

Tengo una nena de 4 años, la he declarado como madre soltera.
Yo vivo en España y su otro progenitor vive en la República Dominicana. Él nunca ha respondido a sus obligaciones como padre y a pesar de eso le permití hablar con la niña a través de videos llamadas.
Cuando nació la niña él estuvo de acuerdo en no ponerle su apellido, pero ahora después de 4 años le exijo ayuda para la manutención de la nena y se niega rotundamente.
Lo que me dice es que si yo no puedo mantenerla que se la mandé para R.D. porque él tampoco puede mandarle para la manuntención, porque según él tiene demasiado gastos en su vida.
Luego de que me dijera eso entonces decidí no poner a la niña en contacto porque solo quiere ser padre virtual pero no real.
El caso es que me a amenazado con demandarme por la niña y eso.
Yo necesito saber si tiene algún derecho ya que la niña tiene 4 años, en los que el nunca le ha enviado ni una envoltura de caramelo, yo la he sacado adelante desde siempre y está declarada solo con mi apellido. ¿Tiene el algún derecho de reclamar algo?
Gracias